ACCUEIL



Article complet au format pdf, cliquer ici

Acoustique non linéaire :

Saturation extraordinaire et propagation paramétrique

Frédéric Élie, mai 2009

La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des études scolaires et supérieures, est INTERDITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner clairement l’auteur et la référence de l’article. 


L’acoustique non linéaire est une branche de l’acoustique formée par la rencontre des comportements hydrodynamiques non linéaires et des perturbations en pression ou en vitesse pour lesquelles on ne peut plus négliger les effets d’ordre supérieur à un. Cette situation arrive lorsque les amplitudes des ondes et/ou leurs fréquences sont élevées.

Par rapport aux phénomènes de l’acoustique linéaire, l’acoustique non linéaire introduit des phénomènes surprenants reliés aux propriétés du milieu de propagation ou au comportement non linéaire du mouvement du fluide. Pour n’en citer que quelques-uns :

-          des ondes de choc dans la propagation acoustique, résultant de la déformation de l’onde de plus en plus prononcée, jusqu’à atteindre une discontinuité en pression ; ce phénomène apparaît même pour un fluide parfait ;

-          la saturation non linéaire, ou saturation extraordinaire : elle résulte des effets dissipatifs (viscosité, conduction thermique…) apportés par le milieu sur la propagation de l’onde. Elle se traduit par le fait que, sous certaines conditions, il n’est pas possible d’obtenir une puissance d’émission d’autant plus élevée que la puissance fournie à la source est grande ;

-          la propagation paramétrique : c’est l’apparition d’harmoniques à partir d’une seule fréquence d’émission, sous l’effet de la déformation de l’onde par non linéarité, mais contrairement au cas linéaire, ces harmoniques ont des amplitudes, donc des énergies, comparables à celle de l’onde initiale.

-          etc…

Ces effets apportent des inconvénients, ou au contraire sont mis à profit, dans de nombreuses technologies. Par exemple, la saturation extraordinaire impose des limites aux performances des systèmes de détection et de classification sous-marines (exploration des fonds marins, lutte contre les mines de fond…), mais en imagerie acoustique médicale elle permet d’obtenir de bonnes résolutions (grâce à la focalisation et aux hautes fréquences) sur des distances courtes (les tissus humains) sans perturber le milieu vivant par une énergie excessive. Les effets paramétriques, quant à eux, sont notamment mis à profit pour générer deux faisceaux de balayages à des fréquences distinctes, à partir d’une seule source d’émission, en techniques d’exploration sous-marine, ce qui présente l’avantage de disposer de résolutions différentes, « à la demande », sans que cela n’occasionne des émetteurs et des récepteurs multiples. En acoustique musicale des instruments, les effets non linéaires ont un rôle fondamental sur la qualité des sons émis, c’est un domaine extrêmement complexe. En sciences des matériaux, tant cristallins que polymères, les réponses piézoélectriques ou bien quantiques (phonons) à des sollicitations acoustiques non linéaires sont elles aussi non linéaires, ce qui ouvre un champ immense de phénomènes intéressants. Il en est de même pour les interactions acousto-optiques. La liste est très longue.

Les enjeux de l’acoustique non linéaire, à peine esquissés ici, expliquent la multitude de travaux de recherches qui ne sont pas encore arrivés à leurs termes, tant pour la formulation théorique des problèmes que pour les aspects plus applicatifs. Car non seulement les équations non linéaires, qui sont à la base des modèles, n’admettent pas des solutions générales et unitaires, applicables à tous les cas possibles, et il faut recourir à des simulations numériques adaptées à des domaines de validité limités, mais encore, la multiplicité des milieux réels, leurs hétérogénéités, leurs phénomènes internes, font que chaque configuration pose pratiquement un problème nouveau. Par exemple, aujourd’hui, la compréhension des structures liquides ou les gels, etc., posent encore des défis aux chercheurs, alors, a fortiori, l’introduction dans ces milieux d’ondes acoustiques non linéaires !...

J’ai parlé de la « rencontre » de l’hydrodynamique et de l’acoustique. Cette image reflète la difficulté de présenter ces questions, le premier obstacle étant la complexité des équations et la maîtrise des hypothèses employées. Si l’on n’y prend pas garde, on a vite fait de sortir du domaine de validité d’un modèle pour l’étendre abusivement à d’autres. Et, en acoustique non linéaire, les domaines de validité ne manquent pas : fluide parfait, fluide dissipatif, et dans ce dernier cas, il y a plusieurs types de comportement selon l’importance relative des effets non linéaires et des effets dissipatifs (représentés par le nombre de Goldberg) ; il y a aussi différentes approches : expression en champ de vitesses ou bien en champ de pression (dont une des formulations fondamentales est donnée par l’équation d’Aanonsen), et selon la nature de l’onde émise à la source (directivité de la source…) ou que l’on se place en champ proche ou en champ lointain, diverses formulations interviennent (Kuznetsov, Westervelt, Blackstock, Lighthill, …), etc.

Dans cet article, qui a pour seul objectif de dresser succinctement un panorama des fondamentaux, je procéderai pas à pas, en partant de la manière dont on passe des formulations de l’hydrodynamique à celles de l’acoustique non linéaire, et en tenant compte progressivement des effets qui doivent être considérés prépondérants, plutôt que de partir des modèles généraux et de les décliner ensuite pour des configurations particulières.

En faisant ainsi, j’espère simplement que les visiteurs qui désirent découvrir cette spécialité complexe mais riche, ou qui cherchent quelques références, y trouveront leur compte.

L’article s’organise par conséquent comme suit :





SOMMAIRE

1 – acoustique linéaire d’un fluide parfait

1.1 – Pour un fluide non visqueux, équation d’Euler

1.2 – Exemple : pour un gaz parfait

1.3 – Pour un liquide

2 – acoustique non linéaire pour un fluide parfait

            2.1 – L’équation d’Euler ne peut plus être simplifiée pour les petites perturbations

            2.2 – Gaz parfait

            2.3 – Liquide parfait (non visqueux)

2.4 – Déformation de l’onde acoustique et génération d’harmoniques par effets de non linéarité pour un fluide parfait ; solution de Fubini

3 – acoustique non linéaire dans un fluide où les effets d’absorption sont pris en compte

            3.1 – Il n’est pas toujours possible de négliger les phénomènes d’absorption…

3.2 – Evaluation de la contribution relative des effets non linéaires et des effets de dissipation thermovisqueuse : nombre de Goldberg

            3.2.1 – Effets dissipatifs

            3.2.2 – Effets non linéaires

3.3 – Cas G << 1 : propagation acoustique fortement dissipative

            3.3.1 – Équations au premier ordre (linéaires)

            3.3.2 – Équations au second ordre (non linéaires)

            3.3.3 – Équation de propagation pour les composantes linéaires

            3.3.4 – Équation de propagation pour les composantes non linéaires

3.4 – cas G ~ 1 : propagation acoustique en milieu où les effets non linéaires sont comparables aux effets dissipatifs

            3.4.1 – Équations au premier ordre (linéaires)

            3.4.2 – Équations au second ordre (non linéaires)

3.5 – Cas G >> 1 : propagation acoustique où les effets non linéaires du milieu et du mouvement dominent largement les effets dissipatifs

3.6 – Compétition entre les effets de non linéarité (effets convectifs et milieu non linéaire) et les effets dissipatifs : différents régimes

3.7 – Equation de Burgers adimensionnelle (équation de Blackstock) : solution exacte

3.8 – Propagation de l’onde de pression

            3.8.1 – Équation de Westervelt unidimensionnel (onde plane)

            3.8.2 – Equation de Lighthill

            3.8.3 – Equation de Westervelt

            3.8.4 – Équation de Aanonsen, équation de Kuznetsov

            3.8.5 – Propagation en champ proche d’une onde ultrasonore très directive : équation KZK

            3.8.6 – Onde quasi-plane en milieu absorbant : retour sur l’équation de Westervelt 1D, l’équation de Burgers-Blackstock

4 – saturation non linéaire d’une onde acoustique divergente dans un milieu dissipatif : la saturation extraordinaire

ANNEXE 1 - EXPRESSION GÉNÉRALE DE L’ÉTAT D’UN GAZ PARFAIT

ANNEXE 2 - SOLUTION DE FUBINI

ANNEXE 3 - ÉQUATION DE TAIT

ANNEXE 4 - COEFFICIENTS DU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DE L’ÉQUATION D’ÉTAT D’UN GAZ PARFAIT

ANNEXE 5 - ÉVALUATION DU TERME DE DISSIPATION PAR CONDUCTION THERMIQUE POUR UN LIQUIDE

ANNEXE 6 - NOMBRE DE GOLDBERG POUR UN GAZ OU UN LIQUIDE

références bibliographiques

©Frédéric Élie, mai 2009 - http://fred.elie.free.fr