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Introduction aux équations de Lagrange en mécanique analytique


Frédéric Élie, octobre 2011


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- Résumé -


La mécanique de Newton est la première formulation rationnelle pour décrire le mouvement des corps sous l'action d'une force. Elle utilise les grandeurs vectorielles que sont la vitesse et l'accélération du corps, et la force. Un de ses principes de base (ou « lois » de Newton) est de poser qu'un corps change de vitesse (donc prend une accélération) sous l'action d'une force extérieure et que le rapport entre ces deux quantités est linéaire. Si F est la force, a l'accélération, v la vitesse du corps supposé ponctuel M, ce principe s'écrit :


F(M) = ma(M)


Il fait intervenir, dans cette relation de proportionnalité, la masse m du corps, supposée invariable : elle s'appelle la masse inerte, pour la distinguer de la masse gravitationnelle qui intervient dans la loi de la gravitation universelle. On sait que ces deux masses sont égales aux précisions expérimentales très poussées actuelles, chose qui légitime l'un des principes fondamentaux de la Relativité Générale d'Einstein.

Le principe de la dynamique newtonienne se réécrit également :


a(M) = F(M)/m


montrant qu'un corps, soumis à une force donnée, change d'autant moins facilement son mouvement qu'il est massif. Un tel résultat est expérimenté chaque jour par chacun d'entre nous : j'ai plus de mal à bouger un bahut qu'une boîte de chaussures quand j'appuie avec la même force.

Remarquons d'ailleurs que la relation précédente, linéaire, pourrait être l'approximation au premier ordre d'un développement plus complexe faisant intervenir des termes non linéaires de la force : après tout cette situation est assez courante en physique, pour les relations entre une source et la réponse du système, si l'on songe par exemple aux modèles non linéaires de phénomènes de transfert (conduction, diffusion...), d'hydrodynamique, d'acoustique non linéaire, d'optique non linéaire, etc. Mais cette remarque reçoit partiellement une réponse positive dans la reformulation de la dynamique en relativité générale : en effet, dans un champ de gravitation, ou dans tout référentiel d'inertie qui lui est équivalent, l'énergie du mouvement acquise par la gravitation devient à son tour une source de gravitation, ce qui confère la propriété de non linéarité aux équations relativistes. Mais ceci est une autre histoire !...

Revenons à la dynamique newtonienne. L'accélération étant a = dv/dt, le principe fondamental s'écrit aussi :


F(M) = mdv(M)/dt = d(mv(M))/dt


la masse étant supposée conservée, introduisant la grandeur vectorielle quantité de mouvement :


p(M) = mv(M)


Le principe prend alors l'expression de D'Alembert :


F(M) = dp(M)/dt


qui, plus qu'un jeu d'écriture, présente l'avantage d'étendre le principe de la dynamique aux corps de masse variable, mais prépare aussi le terrain des grandeurs appelées moments dans le formalisme hamiltonien.

Le caractère vectoriel de la dynamique newtonienne nécessite d'écrire les équations du mouvement dans un référentiel spatial repéré par une base de vecteurs. Tout changement de référentiel d'observation entraîne une modification des grandeurs vectorielles intervenant dans le mouvement, modification qui peut s'avérer rapidement peu maniable.

En outre, il existe en physique des évolutions d'états de système qui ne se décrivent pas d'emblée et directement dans un référentiel vectoriel, et qui ne reçoivent pas une description vectorielle (exemples : transformations thermodynamiques, transferts électrodynamiques, etc.) : la description peut être scalaire, tensorielle, spinorielle... Certes, un scalaire peut être vu comme un vecteur particulier, et un vecteur est le cas particulier d'un tenseur ou d'un spineur.

Il est donc intéressant de pouvoir ré-exprimer les principes de la dynamique par une formulation générale non vectorielle où les changements de référentiels sont automatiquement intégrés dans le formalisme et où apparaissent des quantités invariantes, généralisant les constantes du mouvement ou les intégrales premières. Dans une telle formulation, des phénomènes pourront être décrits sans devoir être obligatoirement rattachés à l'espace euclidien tridimensionnel ordinaire. Elle permettra donc d'élargir les principes de la dynamique à des principes plus généraux qui permettront de traiter des processus non uniquement mécaniques.

C'est précisément ce que permet le formalisme lagrangien, à la base de la mécanique analytique, puis son extension au formalisme hamiltonien. Ces deux formalismes sont à leur tour absorbés dans le formalisme plus général de la géométrie symplectique.

Les conditions de symétrie et d'invariances amènent à traiter ces formalismes par les outils de la géométrie différentielle qui ne traite plus les objets et les mouvements comme des vecteurs d'un espace vectoriel, mais en décrivant les processus sur des variétés différentielles, et non plus seulement dans des espaces vectoriels. Avec les outils de la géométrie différentielle, des passerelles entre les formalismes lagrangien, hamiltonien et symplectique sont établies et en garantissent la cohérence mutuelle. Dit rapidement, le traitement géométrique (au sens géométrie différentielle) du formalisme lagrangien en fait ressortir le caractère de contravariance, tandis qu'il fait ressortir le caractère de covariance du formalisme hamiltonien (ces notions de contravariance et de covariance sont présentées, par exemple, dans mon article « Paradoxe de la montgolfière et relativité générale »).

Nous verrons que l'état dynamique d'un système quelconque peut être donné par ses degrés de liberté (où coordonnées généralisées) qui tiennent compte des contraintes de liaison interne et des grandeurs pertinentes pour la description du mouvement : ce sont les vecteurs (q) d'une variété différentielle appelée espace de configuration, généralement différent de l'espace vectoriel des coordonnées spatiales classiques. L'espace de configuration est une variété différentielle Q. Son espace fibré tangent (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces tangents à Q en tous ses points) est noté TQ : il est formé des vecteurs coordonnées généralisées (q), qui appartiennent à Q, et de leurs dérivées par rapport au temps (q°). Le formalisme lagrangien est alors relatif aux correspondances entre TQ et les grandeurs scalaires :


L: TQ → R (nombres réels) ou C (nombres complexes)

(q,q°) → L(q,q°)


En revanche, le formalisme hamiltonien est développé sur l'espace fibré cotangent de la variété Q des coordonnées généralisées (q), il est noté TQ* (le fibré cotangent est l'ensemble des formes différentielles construites sur le fibré tangent, c'est-à-dire un certain type d'applications affectant à tout vecteur (q, q°) un scalaire). Les éléments de TQ* sont formés des coordonnées généralisées (q) et de leurs moments conjugués (p) (qui généralisent les quantités de mouvement vectorielles p qui interviennent dans le principe de D'Alembert vu plus haut). Le formalisme hamiltonien, quant à lui, est relatif aux correspondances (dites forme de Liouville) entre TQ* et les grandeurs scalaires :


H: TQ* → R ou C

(q,p) → H(q,p)


L'espace des (q,p), variables canoniquement conjuguées, dont la structure géométrique est celle de TQ*, est aussi appelé espace des phases.

En termes d'algèbre, on dit que TQ* est l'espace dual de TQ. Le passage de TQ à TQ* est la transformation de Legendre : elle permet de transformer le point de vue lagrangien en le point de vue hamiltonien, et donc d'assurer leur cohérence mutuelle.

Paradoxalement, l'objectif initial du formalisme lagrangien qui consistait à traduire par l'Analyse Mathématique la formulation vectorielle de la dynamique et de s'affranchir de celle-ci, a conduit, par un approfondissement de ses propriétés de symétrie et d'invariance, à une approche de nouveau géométrique mais élargie aux opérations sur les variétés différentielles et à leur structure symplectique.

Citons Joseph Louis Lagrange lui-même (1736-1813) dans son introduction de son traité « Mécanique Analytique » (1811) :

« Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science [la mécanique], et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème (…). On ne trouvera point de figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine. »

Nous savons surtout gré à J. L. Lagrange d'avoir révolutionné la physique moderne par ce coup de génie !

Dans cet article, nous aborderons seulement l'introduction du formalisme lagrangien dont l'une des expressions fondamentales est l'équation de Lagrange. Je montrerai comment celle-ci peut être obtenue de trois manières différentes (ce ne sont pas les seules) :

Nous verrons comment le passage de l'espace vectoriel ordinaire, qui sert de cadre à la dynamique newtonienne, à l'espace de configuration Q introduit la notion de forces et de moments généralisés, et comment ceux-ci offrent une manière de résoudre élégamment un problème de mécanique dont le développement en dynamique newtonienne serait fastidieux, surtout pour tenir compte des contraintes de liaisons internes au système mécanique étudié.

A propos du principe du calcul variationnel – ou principe de moindre action – nous verrons également comment s'introduisent naturellement les actions de Jacobi et de Maupertuis.

Nous ne traiterons pas ici du formalisme hamiltonien, ni des aspects de la géométrie différentielle associée aux formalismes lagrangien ou hamiltonien, ni a fortiori de la géométrie symplectique, de la transformation de Legendre, etc.

Le présent article, et sa longue introduction, serviront de base aux autres articles développant ou exploitant l'un ou l'autre de ces aspects pour toute question de physique où l'emploi de la mécanique analytique s'avère le plus pertinent.

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©Frédéric Élie, octobre 2011 - http://fred.elie.free.fr - page 1/4