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Problème de Kepler et mouvement des planètes


Frédéric Élie, novembre 2012

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Des propriétés des forces centrales conservatives (i.e. qui dérivent d'un potentiel) on déduit une propriété importante: celle de la conservation du moment cinétique. S'en découle alors la deuxième loi de Kepler: la loi des aires, qui concerne aussi bien les interactions gravitationnelles newtoniennes que n'importe quelle autre interaction pourvu qu'elle soit centrale. Parmi elles existe la famille d'interactions dont le potentiel est de la forme U(r) = K/r: c'est le problème de Kepler. À noter que cette famille inclut aussi bien les forces attractives (par exemple: gravitation de Newton: K < 0, et forces coulombiennes entre charges de signes opposés) que répulsives (par exemple: forces coulombiennes entre charges de même signe: K > 0).

On montre que, pour le problème de Kepler, les trajectoires des particules soumises à ces forces sont des coniques. Ce résultat est la conséquences de l'existence de plusieurs invariants propres au problème de Kepler: la constante vectorielle v0 (qui s'exprime avec le vecteur vitesse de la particule et le module de son moment cinétique), le vecteur excentricité et le vecteur de Runge-Lenz ou vecteur de Laplace. La nature de la conique (hyperbole, parabole, ellipse) dépend directement de l'énergie mécanique.

Dans le cas particulier des forces attractives et de l'ellipse, on montre la troisième loi de Kepler, qui lie la période de révolution au demi-grand axe de l'ellipse.

Nous nous limitons ensuite désormais au cas du mouvement elliptique des planètes autour du Soleil. Le cercle apsidal, qui est le cercle circonscrit à l'ellipse, revêt une grande importance pour permettre la détermination de la trajectoire de l'astre à partir des observations, notamment du moyen mouvement n. L'équation de Kepler, que nous démontrons, établit alors une relation entre n et l'anomalie excentrique qui définit la position angulaire sur le cercle apsidal. La résolution de cette équation, qui est une équation transcendante, nécessite des méthodes d'approximation. Une fois la solution obtenue, on peut remonter à l'anomalie vraie (la position angulaire de l'astre sur l'ellipse) ainsi qu'à son rayon-vecteur, grâce à une équation que nous démontrons aussi reliant le cercle apsidal à l'ellipse.

Ce qui précède concerne l'étude du mouvement de l'astre dans le plan de l'ellipse. Pour être complet, ce mouvement (position et vitesse de l'astre) doit être étudié dans un repère trirectangle OXYZ de l'espace, où O coïncide généralement avec le centre d'attraction. Les équations différentielles du mouvement étant d'ordre deux, il faut 6 paramètres pour déterminer une trajectoire unique. Pour des raisons liées aux observations, cet ensemble, appelé "éléments de l'orbite", est constitué de: le demi-grand axe de l'ellipse a, l'excentricité e, l'inclinaison i du plan de l'ellipse sur le plan de référence OXY, la longitude du nœud ascendant Ω, l'argument du périastre ω, et l'instant du passage au périastre ou époque τ. Nous en disons quelques mots dans cet article.

En fin d'article, une présentation succincte de la trajectoire apparente du Soleil autour de la Terre est proposée. Elle établit en particulier l' "équation de temps" qui permet d'exprimer l'anomalie excentrique en fonction du temps, en faisant intervenir le moyen mouvement n, l'excentricité e, l'inclinaison de l'axe de rotation terrestre sur l'écliptique ε et la longitude de l'écliptique λ. Grâce à elle le jour solaire vrai, très important en astrométrie, peut être calculé comme la différence entre l'angle horaire du Soleil et l'anomalie excentrique.


SOMMAIRE


1 - Propriétés de la trajectoire d'une particule soumise à une force centrale: Deuxième loi de Kepler

2 - Problème de Kepler (potentiel en 1/r)

3 - Cas des états liés (trajectoire elliptique): Troisième loi de Kepler

4 - Cercle apsidal, anomalie excentrique et équation de Kepler

5 - Éléments de l'orbite

6 - Mouvement apparent du Soleil autour de la Terre: équation de temps

Bibliographie

© Frédéric Éliehttp://fred.elie.free.fr, novembre 2012