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Nombre d'or et suite de Fibonacci


Frédéric Elie, juillet 2011


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« Filles des nombres d'or,

Fortes des lois du ciel,

Sur nous tombe et s'endort

Un dieu couleur de miel »

(Paul Valéry, Cantique des Colonnes)


Dans cet article nous nous intéressons au nombre d'or d'un point de vue strictement mathématique, plus particulièrement algébrique et arithmétique. Nous laissons donc de côté les aspects qui relèvent du symbolisme, de la mystique, et des tentatives qui consistent à voir dans la nature l'omniprésence du nombre d'or. Pour ces aspects, il existe une littérature abondante qu'il serait inutile de reproduire ou de référencer ici.

Nous nous limitons à présenter le nombre d'or par sa définition algébrique (c'est la solution d'une équation du second degré particulière), nous décrivons sa représentation géométrique, sa présence dans le pentagone régulier, ce qui nous conduira à une relation trigonométrique fondamentale entre le nombre d'or, noté φ, et le nombre π.

Nous démontrerons comment le nombre d'or est obtenu à partir de la suite de Fibonacci, et nous ferons une incursion dans la théorie des fractions continues par laquelle on peut calculer φ de façon itérative et qui permet de démontrer le caractère irrationnel de ce nombre.

Enfin, il existe un développement en série qui permet de calculer π en fonction de φ, avec une précision aussi fine que l'on veut selon l'ordre de troncature. Sans en donner une démonstration complète, nous en présenterons une esquisse.

Avec le nombre d'or, il y a déjà largement de quoi occuper le mathématicien dans pratiquement tous les domaines des mathématiques...