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Le problème de la chèvre


Frédéric Élie,

(mai 2016)

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Une chèvre est contrainte de se déplacer dans un pré de forme circulaire (curieux, quand même!), délimité par un contour circulaire (C1) de rayon R et de centre O. Elle est attachée à un piquet C, situé sur le périmètre de (C1), par une corde de longueur L.

Le lieu des points les plus éloignés qu'elle peut atteindre est donc un cercle (C2), passant par les points A, K, B, et de rayon L.

Le territoire total sur lequel elle peut brouter est donc délimité par l'arc de cercle AKB et l'arc de cercle ACB. La surface totale de ce territoire est donc la somme de l'aire (S2) définie par le secteur d'arc AKB et de sommet C, d'angle au sommet « a », et des aires (S3) comprises entre les arcs et leurs cordes AC et AB. L'aire totale du pré circulaire est notée (S1).

Question : le rayon du pré, R, étant connu, quelle doit être la longueur L de la corde de telle sorte que la surface totale accessible par la chèvre, S2 + 2S3, soit égale à la moitié de la surface du pré circulaire ?

© Frédéric Éliehttp://fred.elie.free.fr, mai 2016