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Sillage des canards et sillage de Kelvin


Frédéric Elie, 23 mars 2011


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Qu'y a-t-il de commun entre le sillage d'un bateau, tel qu'un pétrolier ou un porte-avions, naviguant à une vitesse suffisante sur une eau profonde, et le sillage d'un canard, ou d'une oie, sur la surface placide d'un bassin d'un parc municipal?

Nous allons voir, dans cet article, que le point commun entre les deux sillages est cette étrange propriété « universelle »: le cône du sillage laissé par le canard et celui laissé par un navire de fort tonnage, quelle que soit leur vitesse, a un angle au sommet égal à une valeur identique: 39°!

Si le canard ou le bateau accélèrent ou deviennent plus ou moins massifs, cet angle de sillage, sur une eau profonde, reste invariable: 39°. Voilà qui est étonnant, mais est-ce que cette situation est comparable à celle d'un avion en vol qui avance à la vitesse transsonique? On sait que le cône qui délimite les ondes de choc associées aux perturbations apportées par l'avion, ou cône de Mach, est relié simplement à la vitesse du son dans l'air, c, et à la vitesse de l'avion, v, par la formule: sin A = c/v, où A est le demi-angle au sommet du cône. On voit, dans ce cas, que le sillage se resserre (l'angle A diminue) lorsque la vitesse de l'avion augmente, la vitesse du son étant pratiquement constante aux conditions thermodynamiques considérées.

On a vu également une situation comparable à celle du sillage d'un avion à propos de l'étude du ressaut hydraulique (voir l'article).

Dans le cas d'un objet qui avance à la surface d'une eau profonde, tel un canard ou un navire, il y a une différence importante avec le cas de l'avion: les perturbations, ou source d'énergie, apportées au milieu (surface de l'eau) se propagent avec une vitesse qui n'est pas constante mais qui dépend de la fréquence avec laquelle le mobile excite le milieu. Il s'ensuit que la longueur d'onde des perturbations et leur période ne sont pas proportionnelles. C'est la propriété de milieu dispersif, que l'on rencontre pour une eau profonde, en régime de gravité (c'est-à-dire lorsque les effets de tension superficielle de l'interface air-eau peuvent être négligés – voir article sur les ondes de surface d'un liquide).

Nous rappellerons que, à la surface d'une eau profonde, en régime de gravité, la vitesse des ondes est d'autant plus grande que leurs périodes sont élevées (les ondes de faible fréquence, donc de grande période, voyagent plus vite que les ondes de grande fréquence, donc de petite période). Or le navire, ou le canard, avance à la vitesse constante v, et nous devons utiliser la transformation entre référentiels galiléens (l'un lié à l'étendue d'eau, immobile, l'autre lié au navire ou canard, mobile) pour examiner comment les ondes sont « vues » dans le référentiel lié au mobile. On utilise alors le principe de l'onde stationnaire: dans le référentiel lié au mobile (navire ou canard) les ondes émises par la perturbation que crée le mobile à la surface de l'eau sont toujours les mêmes et ne dépendent pas du temps. Cette condition a une conséquence géométrique importante sur la position relative des fronts d'onde, dans le référentiel immobile (la surface de l'eau) par rapport au mobile: nous verrons en effet que la direction de propagation d'une onde émise par le bateau à une date antérieure est perpendiculaire à la droite joignant la position du front d'onde et le bateau dans sa nouvelle position à la date actuelle. Puisque la position des fronts d'onde diffère selon la fréquence, pour un même laps de temps, conséquence du caractère dispersif des ondes de surface en eau profonde, en faisant varier la fréquence on obtient comme lieu des fronts d'ondes associées à une perturbation antérieure un cercle passant par la position actuelle du navire et sa position antérieure.

Mais jusqu'ici, nous parlons de front d'onde comme le lieu où la phase de l'onde (dans le référentiel fixe) est la même: la distance entre deux fronts d'onde consécutifs est égale à la longueur d'onde, et ces fronts d'onde se propagent à la vitesse de l'onde c, qui est plus exactement la vitesse de phase. En fait, le sillage n'est pas lié à la propagation des fronts d'onde, ou des états de même phase; il est lié à la propagation des paquets d'ondes. Ces paquets d'ondes sont une conséquence du caractère dispersif: une onde principale qui se propage avec la vitesse de phase c est en fait modulée par une quantité théoriquement infinie d'ondes de fréquences différentes, et ce paquet d'ondes, c'est de l'énergie qui se propage, tandis qu'une onde « pure », c'est l'état de phase qui se propage. C'est l'énergie, apportée par la perturbation de la part du navire, qui est à l'origine du sillage.

Or la vitesse à laquelle les paquets d'onde se propagent, appelée vitesse de groupe, diffère de la vitesse de phase pour une onde dispersive. Dans le cas d'une surface en eau profonde, nous verrons que la vitesse de groupe est égale à la moitié de la vitesse de phase: l'énergie voyage deux fois moins vite que les états de phase. En vertu de la propriété géométrique des lieux des fronts d'onde évoquée plus haut (cercle), il s'ensuit que le lieu des pics d'énergie forme un cercle dont le rayon est la moitié du cercle des fronts d'onde. Ceci a pour conséquence géométrique sur la forme du sillage que, sur une même durée t, pendant que le navire a parcouru une distance D = vt, le cercle des pics d'énergie, créée par la perturbation à l'instant t = 0, a comme rayon D/4, et donc le demi-angle du cône de sillage est donné par sin A = (D/3)/D = 1/3, soit un angle du cône de sillage 2A = 39°, quelles que soient la vitesse et la masse du navire ou du canard !

Cette explication du sillage à la surface d'une eau profonde, pour des ondes de gravité, correspond à la théorie de Kelvin (1885): c'est pourquoi on l'appelle « sillage de Kelvin »...