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Sphère en suspension dans un jet d'air vertical:

une occasion de parcourir quelques effets et théorèmes

en mécanique des fluides


Frédéric Élie, mai 2014

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Une petite balle légère abandonnée au-dessus d'une buse soufflant un jet d'air vertical se met à tourner sur elle même, à osciller suivant l'horizontale, et à parcourir une trajectoire qui s'apparente à une spirale.


Que de phénomènes hydrodynamiques sont responsables de telles réactions!

Selon que la viscosité soit négligeable ou non, nous verrons des théories différentes pour modéliser ces réactions, et nous verrons que pour un fluide parfait (non visqueux) les notions introduites sont déjà très riches sur l'aspect mathématique.

Nous verrons aussi que la géométrie du corps placé dans l'écoulement induit un traitement du problème spécifique: ainsi on parle de force de Magnus pour la déviation d'un profil cylindrique (un poteau, une aile d'avion,... d'extension supposée infinie) qui survient déjà pour un fluide parfait, tandis que pour une sphère, comme c'est le thème du titre de l'article, la déviation de l'objet est produite par l'effet Robins dont l'existence est possible seulement en présence de viscosité.

Quant aux effets d'oscillations du solide, pour les profils cylindriques il s'agit des tourbillons de Karman émis avec une certaine fréquence liée au nombre de Strouhal; tandis que pour un objet sphérique, en tous cas, plus généralement, relevant d'une topologie simplement connexe, ce n'est plus le cas: les oscillations sont directement reliées aux effets de sillage donc de viscosité.


Nous avons cherché, dans cet article, à montrer la différence d'analyse entre le cas d'un solide sphérique et celui d'un profil cylindrique placés dans un écoulement, qu'il soit ou non visqueux.


Et cela nous a conduit à présenter des notions d'hydrodynamique, dont l'éventail est déjà large et varié pour des régimes d'écoulement laminaires (donc configuration simple), et dont les outils mathématiques, certes un peu élaborés, seront rappelés au fur et à mesure des besoins dans l'exposé ou dans les nombreuses annexes.


De sorte que l'on s'apercevra que, dans le thème d'article présenté ici, on parcourra peu à peu un vaste domaine de l'hydrodynamique classique.









SOMMAIRE


1 – Régimes d'écoulement derrière une sphère soumise à un jet d'air, et introduction du nombre de Strouhal


2 – Écoulement autour d'un obstacle en rotation: paradoxe de D'Alembert, effet Magnus (profil cylindrique), effet Robins (sphère)


    1. Écoulement d'un fluide parfait sans circulation (cas d'un obstacle 3D de dimensions finies): paradoxe de D'Alembert

    2. - Écoulement d'un fluide parfait incompressible (écoulement à potentiel) avec circulation autour d'un obstacle (cas d'un obstacle 2D d'extension infinie): effet Magnus

    3. - Sphère soumise à l'écoulement de fluide visqueux (effet Robins)


3 – Effets conjugués des tourbillons de Karman et de la force de Robins-Magnus sur une sphère soumise à un jet d'air vertical orienté de bas en haut


Annexe 1 – Tourbillons de Karman en aval d'un obstacle soumis à un écoulement amont stationnaire, nombre de Strouhal


A1.1 – Fluide parfait incompressible: fonction de courant


A1.2 – Potentiel complexe (écoulement bidimensionnel)


A1.3 – Exemples de potentiels complexes


A1.3.1 – Écoulement plan uniforme

A1.3.2 – Écoulement tourbillonnaire

A1.3.3 – Source et puits

A1.3.4 – Écoulement créé par un dipôle


A1.4 – Allées de tourbillons et tourbillons de Karman


Annexe 2 – Force exercée par un écoulement de fluide parfait sur une sphère rigide: paradoxe de D'Alembert


A2.1 – Écoulements irrotationnels et conditions pour qu'ils le soient


A2.2 – Circulation pour un écoulement irrotationnel, théorème de Lagrange


A2.3 – Force exercée par un écoulement de fluide parfait irrotationnel, stationnaire et incompressible sur une sphère rigide: paradoxe de D'Alembert


Annexe 3 – Force de Magnus créée sur un profil cylindrique par l'écoulement d'un fluide parfait


Annexe 4 – Force de Robins-Magnus créée sur une sphère rigide en rotation uniforme, par l'écoulement d'un fluide visqueux


A4.1 – Généralités


A4.2 – Coefficient de traînée et coefficient de portance


A4.3 – Équations du mouvement approchées de la sphère


Annexe 5 – Démonstration (heuristique) du théorème de Stokes

Références

© Frédéric Éliehttp://fred.elie.free.fr, juin 2014