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Suites de Cauchy et théorème du point fixe de Banach


Frédéric Élie, novembre 2012

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Les suites de Cauchy sont d'un usage constant dans les espaces vectoriels normés complets, comme ceux basés sur le corps des réels ou des complexes, parce qu'elles permettent, grâce au théorème de Bolzano-Weierstrass, de s'assurer de la convergence d'une suite (ce théorème énonce que toute suite réelle ou complexe bornée admet une sous-suite convergente).

Un cas intéressant d'application des suites de Cauchy est celui du théorème du point fixe de Banach concernant les applications contractantes. Selon ce théorème, toute fonction contractante dans un sous-espace fermé d'un espace vectoriel normé admet un point fixe unique. Les conséquences de ce théorème de l'analyse fonctionnelle sont immenses dans des domaines aussi divers que: la résolution des équations différentielles, la stabilité et le contrôle des systèmes en automatisme, l'étude de l'évolution des systèmes dynamiques et chaotiques vers des états "attracteurs" dont les applications touchent tous les domaines scientifiques (théorie des systèmes complexes, économie, finances, sciences stratégiques, sciences cognitives, systèmes biologiques, évolutions climatiques, etc...). Ces approches ne pourront pas être développées dans le cadre très restreint de cet article, qui se bornera à exposer les définitions et théorèmes relatifs aux suites de Cauchy et au théorème du point fixe de Banach.

© Frédéric Éliehttp://fred.elie.free.fr, novembre 2012