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Tas de sable et parabole

Une introduction à la physique des milieux granulaires


Frédéric Élie, juillet 2014

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S'il existe un domaine omniprésent, tant dans les études théoriques que dans les applications pratiques, vaste et qui implique tous les savoirs en physique et en chimie, c'est bien celui des matériaux. Et à l'intérieur de ce domaine, celui des matériaux granulaires est lui aussi omniprésent, touche toutes les technologies, les applications, et les processus de la nature: par exemple, la construction (les mélanges utilisés pour les matériaux de construction utilisent des milieux granulaires), le packaging (le conditionnement des structures pulvérulentes, tant en cosmétique qu'en pharmacie nécessite de maîtriser le comportement de ces milieux...), les ouvrages du génie civil (digues, gestion des dunes...), la compréhension et la prévision des avalanches ou du recul des falaises et des zones côtières, la formation et la stabilité des dunes de sable dans le désert, ou des talus utilisés ou formés par des remblais (et les glissements de terrain), les techniques industrielles qui utilisent les milieux granulaires, telles celles des silos (et la prévention des dangers associés comme ceux liés aux explosions de poussière), les sables mouvants, etc., etc.


Les milieux granulaires sont caractérisés par deux choses: la portée des interactions internes mises en jeu, et leur comportement par rapport à la matière fluide et la matière solide. Pour la première caractéristique, les milieux granulaires existent sur des échelles allant du mésoscopique (quelques pouillèmes de millimètres) jusqu'aux macroscopiques (puisque des systèmes, comme les anneaux de Saturne, se comportent aussi, collectivement, comme des matériaux granulaires!), en passant par les échelles intermédiaires. Pour la deuxième caractéristique, les milieux granulaires, de par leurs comportements collectifs, ne se comportent ni comme des assemblages solides, ni comme des milieux continus fluides: bien que constitués d'éléments solides (les grains solides), les interactions entre ces éléments au sein des milieux granulaires sont des mécanismes collectifs; la compréhension détaillée de ces mécanismes font encore l'objet de recherches fondamentales, et l'enjeu est qu'elle permet de maîtriser les techniques de mise en œuvre des structures matérielles et aussi de comprendre et de prévenir les dysfonctionnements et accidents, parfois dramatiques, liés à ces structures (avalanches, explosions, effondrements, glissements de terrain, dispersion de nuages pulvérulents...).


Ni fluide, ni solide, un milieu granulaire, en effet ne se comporte pas comme un solide puisqu'il est déformable, dispersible et écoulable, ni comme un liquide puisque, par exemple, lorsqu'on le comprime il se dilate (c'est le phénomène de dilatance de Reynolds)! En tant que milieu constitué d'un très grand nombre de grains solides, il n'est pas comme un solide, à cause par exemple de l'existence de l'effet de voûte. Cet effet est responsable d'un grand nombre de comportements des milieux granulaires: comportement singulier des écoulements dans un récipient à travers un orifice (silos, sabliers) où le matériau s'auto-bloque (effet Janssen) ou bien s'écoule régulièrement quel que soit son niveau comme dans un sablier (effet Beverloo); application de l'effet de voûte aux ballasts de chemins de fer (comment se fait-il qu'un train de plusieurs centaines de tonnes en mouvement ne provoque pas l'effondrement du ballast et des rails qui reposent dessus?), ainsi qu'aux constructions des aqueducs (exemple Pont du Gard), viaducs, arches des cathédrales... Et, si nous comparons l'écoulement d'un milieu granulaire à celui d'un liquide, on voit aussi que la viscosité du milieu granulaire varie avec la vitesse de cisaillement due à l'écoulement, ce qui n'est pas le cas d'un liquide ordinaire (loi de Bagnold).


On peut signaler aussi que, tandis qu'un solide peut prendre une forme quelconque, un milieu granulaire qui repose sur un support, à l'état d'équilibre, prend une forme conique dont l'angle au sommet n'est pas quelconque: c'est l'angle de talus. Donc, si ce tas granulaire est formé près d'une arête délimitant une falaise abrupte, l'angle de talus se conservant, on observera l'écoulement d'un pan du talus, ce qui donnera lieu à l'intersection d'un plan avec un cône, l'inclinaison du plan étant égale à celle de l'angle au sommet du cône: on obtiendra ainsi une coupe de forme parabolique du talus.


Si l'on devait écrire toutes les propriétés, études et applications des milieux granulaires, je crois que les textes empliraient la bibliothèque nationale; ce n'est donc pas mon propos ici. Sur la base de quelques éléments simples, mais qui nécessitent déjà des développements en physique et en mécanique assez sophistiqués, j'aurais atteint mon but si, dans cet article, je parviens à faire toucher du doigt la richesse, la complexité et les problèmes encore ouverts relatifs aux milieux granulaires, dont l'exemple le plus courant, mais au final encore mystérieux, est un simple tas de sable!...


SOMMAIRE


1 – Introduction

2 – Conditions pour qu'un milieu granulaire se mette en mouvement

3 – Formation du tas de sable

4 – Effet de voûte dans les milieux granulaires

5 – Frottement solide et modèle de Janssen

6 – Caractérisation des milieux granulaires

7 – Influences de l'humidité et des charges électriques

8 – Typologie des milieux granulaires et définitions

9 – Mouvements frustrés, stick-slip

10 – Chocs des grains et modèle de Hertz

11 – Une particule en interaction avec un milieu granulaire – Plusieurs particules en interaction (friction dans un granulaire, nombre de Bagnold)

12 – Statique d'un milieu granulaire, cheminement des contraintes, effet de voûte

13 – Dilatance de Reynolds

14 – Écoulement d'un milieu granulaire dans un silo: modèle de Janssen

15 – Écoulement granulaire sur une pente: modèle de Saint-Venant, coefficient de frottement effectif

Annexe 1 – Écoulement granulaire sur un plan incliné: établissement des équations du mouvement moyenné dans l'épaisseur (ou équations dites de Saint-Venant)

Annexe 2 – Vidange d'un récipient contenant un matériau granulaire, sablier et loi de Beverloo

Annexe 3 – Rappels sur la théorie des chocs de billes élastiques, avec glissement et roulement à l'impact

Références

© Frédéric Éliehttp://fred.elie.free.fr, juillet 2014