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La toupie symétrique : ses différents régimes de mouvement


Frédéric Élie, mars 2012


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Dans cet article, les équations du mouvement d'une toupie symétrique, ainsi que ses solutions correspondant à différents régimes d'oscillations, sont présentées.

Lorsque l'on peut relier les grandeurs angulaires, qui caractérisent les degrés de liberté de la toupie, à leurs dérivées temporelles, on obtient les équations du mouvement. Pour cela, nous partons du formalisme hamiltonien dans lequel, après avoir établi simplement la fonction « hamiltonien » H (p, q) du système, où p sont les moments et q les degrés de liberté, nous obtenons de manière quasi immédiate les relations entre les p et les dérivées temporelles q° = dq/dt, et, après quelques manipulations simples, elles permettent de relier les q aux q°, ce qui donne les équations du mouvement.

Dans le cas de la toupie, ses positions sont données exclusivement par ses angles d'Euler, ce qui définit trois degrés de liberté q. On néglige par conséquent le cas où le point d'appui de la toupie se déplace sur la surface, par glissement par exemple.

Si les équations du mouvement sont simples à établir, il demeure cependant que leurs résolutions sont assez complexes. De sorte que les différentes familles de solutions ne sont pas données dans le détail, sous une forme analytique, mais en fonction des domaines de valeurs prises par les paramètres du problème, dont l'un est le « paramètre principal » u = cos θ, où θ est l'angle que fait avec le plan horizontal le plan perpendiculaire à l'axe de rotation de la toupie...